이 이야기를 하기 전에 미적분학에서 배운 개념을 잠시 생각해 봅시다. 이전 포스팅에서 다루었듯이, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$가 벡터 공간임을 확인했습니다. $\mathbb{R}^3$에서 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식은 $(x, y, z) = A + su + tv, 모든 s에 대한 \, t \in \mathbb{R}$ (여기서 $u = \vec{AB}, v = \vec{AC}$). 이때 $A$를 원점으로 하면 평면의 방정식은 $(x,y,z) = su + tv$로 주어지고 이를 만족하는 모든 점의 집합, 즉 모든 점의 집합이다. $\mathbb 평면에서 직관적으로 이것은 {R}^3$의 부분 공간입니다. $u와 v$는 모두 벡터 공간 $\mathbb{R}^3$의 벡터이고 $s와 t$는 스칼라이므로 $su + tv$도 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫힌 벡터 공간의 벡터입니다. . 따라서 $su + tv$ 형태의 표현은 벡터 공간에서 매우 중요한 개념이며 일반화로 볼 수 있다. 이러한 형태의 표현을 선형 조합이라고 합니다.
정의 1. $V$는 벡터 공간이고 $S$는 $V$의 비어 있지 않은 부분 집합입니다. V$에 있는 벡터 $v \는 $S$에 벡터 $u_1, u_2, …, u_n$이 유한하게 많고 스칼라 $a_1이 있는 경우 $S$의 벡터의 $\textbf{선형 조합}$이라고 합니다. $v = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n$가 되는 $F$의 a_2 , …, a_n$.
이 경우 우리는 또한 $v$가 $u_1, u_2, …, u_n$의 선형 조합이라고 말하고 $a_1, a_2, …, a_n$을 선형의 $\textbf{coefficients}$라고 부릅니다. 조합 .
말 그대로 벡터 공간 $V$의 비어 있지 않은 부분 집합(적어도 하나의 요소를 가져와야 하므로) $S$의 벡터하나 $V$의 벡터가 의 선형 합으로 표현될 수 있는 경우 선형 합 자체는 선형 조합입니다.
그런 다음 $S$의 요소를 임의로 선택합니다. 이 벡터를 $v$라고 하면 $\mathbf{0} = 0v$이므로 0 벡터 $\mathbf{0}$는 $V$의 비어 있지 않은 각 하위 집합 $S$에서 벡터의 선형 조합입니다. 실제로 어떤 벡터가 다른 벡터의 선형 조합인지 확인하려면 선형 방정식 시스템을 풀어야 합니다. 아래 예를 살펴보겠습니다.
유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$에서 이름이 (2, 6, 8)인 벡터를 가져옵니다. 이때 이 벡터는 $u_1 = (1, 2, 1), u_2 = (-2, -4, -2), u_3 = (0, 2, 3), u_4 = (2, 0, -3 ) , u_5 = (-3, 8, 16) $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 스칼라가 있다고 가정합니다.
$$(2, 6, 8) = a_1u_1 + a_2u_2 + a_3u_3 + a_4u_4 + a_5u_5 \\ = (a_1 – 2a_2 +2a_4 -3a_5, 2a_1 – 4a_2 + 2a_3 + 8a_5, a_1 – 2a_2 + 3a_3 – 3a_4 + 16a_5)$ $
그것이 달성됩니다. 따라서 모든 구성 요소가 동일하면 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻습니다.
$$a_1 – 2a_2 + 2a_4 – 3a_5 = 2 \\ 2a_1 – 4a_2 + 2a_3 + 8a_5 = 6 \\ a_1 – 2a_2 + 3a_3 – 3a_4 + 16a_5 = 8$$
이제 이 방정식을 풀어 솔루션을 얻을 수 있다면 벡터(2, 6, 8)는 선형 조합입니다. 그러나 5개의 미지수와 3개의 방정식이 있기 때문에 이 방정식을 완전히 풀기는 어렵고 일부 미지수를 다른 미지수로 표현함으로써 해를 얻을 수 있다.
일일이 계산하는 과정은 거치지 않겠습니다. 그러나 이 과정에서 사용되는 작업을 소개하겠습니다.
1. 시스템에서 두 방정식의 순서를 바꿉니다.
2. 시스템의 방정식에 0이 아닌 상수를 곱합니다.
3. 방정식의 상수 배수를 시스템의 다른 방정식에 추가합니다.
이러한 작업은 기존 시스템을 단순화하고 솔루션 세트를 보존하는 데 사용되는 것으로 알려져 있습니다. 이것은 나중에 따로 증명할 것이다.
위의 연산을 이용하여 $a_1, a_3, a_4$가 하나의 식에만 나타난다면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$a_1 = 2a_2 – a_5 -4 \\ a_3 = -3a_5 + 7 \\ a_4 = 2a_5 + 3$$
$a_2 = 0, a_5 = 0$, $a_1 = -4, a_3 = 7, a_4 = 3$이면 $a_2, a_5$ 중 어느 것을 선택해도 마찬가지입니다. 따라서 벡터 (2, 6, 8)은 $u_i(i = 1, 2, 3, 4, 5)$의 선형 조합입니다.
위에서 소개한 작업은 다른 시스템을 해석할 때도 적용됩니다. 계산 결과 $0 \neq c $($c$ is nonzero)와 같은 모순이 발생하면 시스템은 무해합니다. 즉 선형 조합이 아닙니다.
위에서 언급한 바와 같이 선형 조합은 벡터 공간을 다룰 때 매우 중요하므로 선형 조합 집합을 별도로 정의하려고 합니다.
정의 2. $S$를 벡터 공간 $V$의 비어 있지 않은 부분 집합이라고 합니다. span($S$)로 표시되는 S의 $\textbf{span}$는 $S$에 있는 벡터의 모든 선형 조합으로 구성된 집합입니다. 단순화를 위해 우리는 span($\emptyset$) := $\{ \mathbf{0} \}$를 정의합니다.
위의 정의에서 $S \subseteq$ span($S$) 관계가 모든 세트 $S \subseteq V$에 대해 항상 성립한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $S$의 각 요소에 대해 단순히 계수를 1로 지정하면 해당 요소는 범위$(S)$에 있습니다. $S$ = span($S$)은 언제 적용됩니까, 즉 $S \supseteq$ span($S$)? 다음 문장이 이에 대해 말하고 있습니다.
문장 1 벡터 공간 $V$의 부분집합 $W$는 $V \Leftrightarrow$ span$(W) = W$의 부분 공간입니다.
즉, $W \leq V$이면 $W = $ span($W$)입니다. $W$가 $V$의 하위 공간이라는 전제가 없는 한 추가를 위해 닫혀 있다는 보장이 없기 때문에 span($W$)의 요소가 $W$로 돌아가는지 여부를 알 수 없습니다. 정리의 증명은 다음과 같다.
입증하다.
($\Longrightarrow$) $W$가 $V$의 부분 공간이라고 가정합니다. $v \in$ span($W$)이라고 하자. 그런 다음 $v = a_1w_1 + a_2w_2 + \cdots + a_nw_n$ 여기서 스칼라 $a_i (i = 1, 2, …, n)$ 및 벡터 $w_i \in W (i = 1, 2, .. . , 엔)$. $W$는 벡터 공간이므로 $v = a_1w_1 + a_2w_2 + \cdots + a_nw_n \in W$입니다. 그래서 span$(W) \subseteq W$. 분명히 $W \subseteq$ span($W$). 따라서 스팬($W$) = $W$.
($\Longleftarrow$) span($W$) = $W$라고 가정합니다. $u, v \는 W$, $c는 \F$라고 하자. span($W$) = $W$이므로 $u, v$를 $u = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_mu_m$ 및 $v = b_1v_1 + b_2v_2 + \cdots + b_nv_n$로 쓸 수 있습니다. 여기서 스칼라는 $ $W$에서 a_1, a_2, …, a_m, b_1, b_2, …, b_n$ 및 벡터 $u_1, u_2, …, u_m, v_1, v_2, …, v_n$입니다. 그 다음에
$$\begin{align*} u+v = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_mu_m + b_1v_1 + b_2v_2 + \cdots + b_nv_n \end{align*}$$
및 $$\begin{align*} cu = (ca_1)u_1 + (ca_2)u_2 + \cdots + (ca_m)u_m \end{align*}$$ 분명히 $u+v$ 및 $cu$는 다음의 선형 조합입니다. W의 벡터, 즉 $u+v, cu \in$ span($W$) = $W$. 따라서 $W$는 $V$의 부분 공간입니다.
$S \subseteq V$의 경우 span($S$)은 항상 $V$의 부분 공간이라는 것도 알려져 있습니다. 다음 증명이 이를 증명합니다.
문장 2 벡터 공간 $V$의 부분집합 $S$의 범위는 $V$의 부분 공간입니다. 또한 $S$를 포함하는 $V$의 모든 하위 공간은 $S$의 범위도 포함해야 합니다.
입증하다. $S = \emptyset$이면 span($\emptyset$) = $\{\mathbf{0}\}$는 $V$의 null 부분 공간입니다. $x, y \in$ span($S$)이라고 하자. 그런 다음 벡터 $u_1, u_2, …, u_m, v_1, v_2, …, v_n \in S$ 및 스칼라 $a_1, a_2, …, a_m, b_1, b_2, …, b_n이 있습니다. $$\begin{align*} x = a_1u_1+a_2u_2+ \cdots +a_mu_m \,\, \text{and} \,\, y = b_1v_1+b_2v_2 + \cdots + b_nv_n이 되는 $. \end{align*}$$ 그러면 $$\begin{align*} x+y = a_1u_1+a_2u_2+ \cdots +a_mu_m + b_1v_1+b_2v_2 + \cdots + b_nv_n \end{align*}$$ 및 각 스칼라 $에 대해 c$, $$\begin{align*} cx = (ca_1)u_1 + (ca_2)u_2 + \cdots (ca_m)u_m \end{align*}$$는 $S$에 있는 벡터의 선형 조합입니다. $ x+y$ 및 $cx$는 범위($S$)에 있습니다. 따라서 span($S$)은 $V$의 부분 공간입니다.
$W$를 $S$를 포함하는 $V$의 임의의 부분 공간이라고 합니다. $w \in$ span($S$)이면 $w = c_1w_1 + c_2w_2 + \cdots + c_kw_k$ 일부 벡터 $w_1, w_2, …, w_k \in S$ 및 일부 스칼라 $c_1, c_2 , …, c_k$. $S \subseteq W$, $w_1, w_2, …, w_k \in W$부터. 따라서 $w = c_1w_1 + c_2w_2 + \cdots + c_kw_k \in W \Rightarrow$ span($S$) $\subseteq W$.
$W \leq V$에 $S \subseteq V$가 있는 경우 해당 $S$의 요소만 사용하여 이미 정의된 작업으로 span($S$)을 캡처할 수 있으므로 $W$는 span($ S$입니다. ) $)도 자명합니다.
$S \subseteq V$의 span($S$)의 다양한 속성은 다음 정리로 찾을 수 있습니다.
세트 3 $S_1$ 및 $S_2$를 벡터 공간 $V$의 부분 집합이라고 합니다. 그런 다음 다음 진술이 적용됩니다.
(a) $S_1 \subseteq S_2$이면 span($S_1) \subseteq$ span($S_2$)입니다. 특히 $S_1 \subseteq S_2$이고 span($S_1$) = $V$이면 span($S_2$) = $V$입니다.
(b) 스팬($S_1 \cup S_2$) = 스팬($S_1$) + 스팬($S_2$).
(c) 스팬($S_1 \cap S_2$) $\subseteq$ 스팬($S_1$) $\cap$ 스팬($S_2$).
입증하다.
(a) 스칼라 $a_1, a_2, …, a_m$ 및 벡터 $u_1, u_2에 대해 $u \in$ span($S_1$), 즉 $u = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_mu_m$ , …, u_m$ in $S_1$. $S_1 \subseteq S_2$이므로 $u_1, u_2, …, u_m$도 $S_2$에 있습니다. 따라서 $u = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_mu_m \in$ span($S_2$). 그러므로 span($S_1) \subseteq$ span($S_2$). span($S_1$) 및 span($S_2$)은 모두 $V$의 하위 집합입니다. span($S_1$) = $V$, $V \subseteq$ span($S_2$)라고 하자. 따라서 스팬($S_2$) = $V$.
(b) $u \in$ span($S_1 \cup S_2$)이라고 하자. 그런 다음 $$\begin{align*} u = \sum_{i=1}^{n}a_iu_i, (a_i \in F, u_i \in S_1 \cup S_2) \end{align*}$$ 각 $u_i 이후 \, (i = 1, 2, …, n)$는 모두 $S_1 \cup S_2$에 있고, 모든 벡터는 $S_1$ 또는 $S_2$에 있습니다. 즉, $v \in $ span($S_1$) 및 $w \in$ span($S_2$)에 대해 $u$를 $u = v + w$로 다시 작성할 수 있습니다. 따라서 $u \in$ span($S_1$) + span($S_2$). $u \in$ span($S_1$) + span($S_2$), 즉 \begin{align*} u = v + w = \sum_{i=1}^{n} a_iv_i + \sum_{j=1}^{m}b_jw_j, \, (a_i, b_j \in F, \, v_i \in S_1, \, w_j \in S_2) \end{align*} 각 $v_i ( i = 1, 2, …, n), w_j (j = 1, 2, …, m)$는 $S_1$ 또는 $S_2$에 있고 모두 $S_1 \cup S_2$에 있습니다. 그런 다음 $u \in$ span($S_1 \cup S_2$).
(c) $u \in$ span($S_1 \cap S_2$)이라고 하자. 그런 다음 $$\begin{align*} u = \sum_{i=1}^{n}a_iu_i \,(a_i \in F, u_i \in S_1 \cap S_2). \end{align*}$$ 모든 $u_i (i = 1, 2, …, n)$가 $S_1 \cap S_2$에 있으므로 $u$는 span($S_1$) 및 span($ S_2$). 즉, $u \in \text{span}(S_1) \wedge u \in \text{span}(S_2) \Rightarrow u \in$ span($S_1$) $\cap$ span($S_2$) .
이제 정의를 소개하고 게시물을 닫겠습니다. 직접 합의 개념으로 부분 공간만 주어졌을 때 원래의 벡터 공간을 포착할 수 있었습니다. 마찬가지로 이 게시물에서는 “스팬”의 개념을 정의했습니다. 즉, 특정 부분집합 $S \subseteq V$를 가져오면 해당 부분공간인 span($S$)을 포착할 수 있다. 그렇다면 원래의 벡터 공간인 $V$가 $V$의 부분집합 $S$, 즉 span($S$) = $V$로 포착되는 경우가 있지 않을까요? 따라서 $S$는 $V$를 구성하는 ‘구성 요소’와 같은 역할을 하기 때문에 $S$의 선형 조합만으로도 $V$를 잡을 수 있습니다. 그런 다음 $V$, $S$의 하위 집합만으로 전체 $V$를 처리할 수 있는 편리한 상황을 만들 수 있습니다.
정의 3. 벡터 공간 $V$ $\textbf{generates}$ (또는 $\textbf{spans}$) $V$ if span($S$) = $V$의 부분집합 $S$. 이 경우 $S$의 벡터가 $V$를 생성(또는 확장)한다고도 합니다.
개인적으로 저는 이 정의를 “생성”이라고 명명하는 것이 매우 좋은 명명 규칙이라고 생각합니다. 문자 그대로 ‘생성’ $S \subseteq V$ $V$.
음, 한 단계 더 나아가 $V$를 생성하는 이러한 하위 집합 중 가장 작은 것이 무엇인지 물을 수 있습니다. 이에 대해서는 다음 포스트에서 다루도록 하겠습니다.
참조는 다음과 같습니다. https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051
선형 대수학 | 스티븐 프리드버그 – 교보문고
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하나 이것은 $S$가 벡터 공간이어야 한다는 의미가 아니라 $S$의 요소가 $V$의 요소, 즉 벡터라는 것입니다.